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Relaciones de equivalencia

En primer lugar damos la definición de lo que es una relación de equivalencia.

Definición 5.1   Una relación $ R$ es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos típicos de relaciones de equivalencia, de entre los estudiados anteriormente en esta asignatura, podemos citar la equivalencia lógica, la igualdad de conjuntos, o la relación entre conjuntos de tener la misma cardinalidad. El aspecto más interesante de las relaciones de equivalencia es su correspondencia con las particiones de un conjunto. En primer lugar, si $ R$ es una relación de equivalencia, se llama clase de equivalencia de $ a\in A$ con respecto a $ R$ al conjunto

$\displaystyle [a]=[a]_{R}=\{x\in A\;\vert\;a R x\}$

Se puede así enunciar (sin demostración) el siguiente

Teorema 5.2   El conjunto cociente

$\displaystyle A/R:=\{[a]\;\vert\;a\in A\}$

define una partición del conjunto $ A$. Recíprocamente, si $ {\mathcal P}=\{A_{i}\;\vert\;i\in I\}$ es una partición, entonces la relación $ R$ definida por

$\displaystyle x R y \Leftrightarrow \exists i\;\;$tal que$\displaystyle \;\;
(x\in A_{i})\wedge(y\in A_{i})
$

es una relación de equivalencia cuyo conjunto cociente define la partición de $ {\mathcal P}$ partida.


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Jose Ignacio Farran Martin 2003-07-16