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Composición de aplicaciones

Definición 2.1   Sean $f\;:\;A\rightarrow B$ y $g\;:\;B\rightarrow C$ dos aplicaciones. Se define la composición de $f$ y $g$, y se denota

$$g\circ f\;:\;A\rightarrow C$$

a la aplicación dada por

$$(g\circ f)(a):=g(f(a))$$

Ejemplo 2.2   Es fácil ver que, sea quien sea $f\;:\;A\rightarrow B$, se tiene:

1. $f\circ id_{A}=f$.
2. $id_{B}\circ f=f$.

Teorema 2.3   $\;$

• La composición de aplicaciones es asociativa, es decir, si $f\;:\;A\rightarrow B$, $g\;:\;B\rightarrow C$ y $h\;:\;C\rightarrow D$, entonces
  $$(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$$

• La composición de inyectivas es inyectiva.
• La composición de suprayectivas es suprayectiva.
• La composición de biyectivas es biyectiva.

Definición 2.4   $\;$

• Una aplicación $f\;:\;A\rightarrow A$ es idempotente si $f\circ f=f$.
• Una aplicación $f\;:\;A\rightarrow A$ es una involución si $f\circ f=id_{A}$.
• Una aplicación $f\;:\;A\rightarrow B$ es constante si existe $b\in B$ tal que
  $$\forall a\in A,\;\;f(a)=b$$
  (Es fácil ver que si se compone una función constante, por la derecha o por la izquierda, con otra función cualquiera, el resultado es nuevamente otra función constante).

Definición 2.5   Dada una correspondencia $f=(A,B,\Gamma(f))$, se define la correspondencia inversa

$$f^{-1}=(B,A,\Gamma(f^{-1}))$$

donde

$$(b,a)\in\Gamma(f^{-1})\Longleftrightarrow(a,b)\in\Gamma(f)$$

es decir

$$f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b$$

(Evidentemente, $(f^{-1})^{-1}=f$).

Teorema 2.6   $\;$

(a)

$f^{-1}$ es una aplicación si y sólo si $f$ es una aplicación biyectiva.
En este caso, $f^{-1}$ es de hecho biyectiva.

(b)

Si $f$ es una aplicación biyectiva entonces

$$f\circ f^{-1}=id_{A}\;\;\;{\rm y}\;\;\;f^{-1}\circ f=id_{B}$$

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