Siguiente: Sobre este documento... Subir: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS Anterior: Composición de aplicaciones

Cardinalidad, finitud y numerabilidad

En esta sección daremos los conceptos matemáticos básicos que nos permiten comparar la cantidad de elementos (llamada cardinalidad o potencia) de diferentes conjuntos.

Definición 3.1   Sean $A$ y $B$ dos conjuntos.

• Se dice que el cardinal de $A$ es menor o igual que el de $B$, y se denota $\vert A\vert\leq\vert B\vert$ o bien $\sharp A\leq\sharp B$, si existe una aplicación inyectiva
  $$f\;:\;A\hookrightarrow B$$

• Se dice que el cardinal de $A$ es mayor o igual que el de $B$, y se denota $\vert A\vert\geq\vert B\vert$ o bien $\sharp A\geq\sharp B$, si existe una aplicación suprayectiva
  $$f\;:\;A\twoheadrightarrow B$$

• Se dice que $A$ y $B$ tienen el mismo cardinal, y se denota $\vert A\vert=\vert B\vert$ o bien $\sharp A=\sharp B$, si existe una aplicación biyectiva
  $$f\;:\;A\stackrel{\sim}{\leftrightarrow}B$$

• Si se da $\sharp A\leq\sharp B$ pero no $\sharp A=\sharp B$, se denota $\sharp A<\sharp B$.
• Si se da $\sharp A\geq\sharp B$ pero no $\sharp A=\sharp B$, se denota $\sharp A>\sharp B$.

Teorema 3.2   $\;$

• $\sharp A\leq\sharp B$ si y sólo si $\sharp B\geq\sharp A$.
• $\sharp A=\sharp B$ si y sólo si
  $$(\sharp A\leq\sharp B)\wedge(\sharp B\leq\sharp A)$$

• Si $A$ y $B$ son dos conjuntos cualesquiera, entonces se da una y sólo una de las tres condiciones siguientes:
  1. $\sharp A<\sharp B$.
  2. $\sharp A>\sharp B$.
  3. $\sharp A=\sharp B$.
• Si $\sharp A\leq\sharp B$ y $\sharp B\leq\sharp C$, entonces $\sharp A\leq\sharp C$.
• Si $A\subseteq B$ entonces $\sharp A\leq\sharp B$.

Nota 3.3   Es fácil ver que la relación binaria `` tener el mismo cardinal'' define una relación de equivalencia entre conjuntos, que induce por tanto clases de equivalencia de conjuntos `` equipotenciales''. Análogamente, la relación `$\leq$' (o también `$\geq$') define una relación de orden entre dichas clases de equivalencia de conjuntos.

Definición 3.4   $\;$

• Se dice que $A$ es un conjunto finito, y se denota $\sharp A<\infty$, si o bien $A=\emptyset$ o bien existe un número natural $n\geq 1$ tal que
  $$\sharp A=\sharp\{1,\ldots,n\}$$

• En este caso, se dice que el cardinal (o número de elementos) de $A$ es $n$, y se denota $\sharp A=n$ (o que $\sharp A=0$ si $A=\emptyset$).
  
• En caso contrario, se dice que $A$ es un conjunto infinito, y se denota $\sharp A=\infty$.

En el caso finito, hay una serie de resultados que son bastante intuitivos, entre los que destacamos los siguientes:

Teorema 3.5   Si $A$ y $B$ son finitos, entonces $\sharp A=\sharp B$ si y sólo si $A$ y $B$ tienen el mismo número de elementos.

Teorema 3.6   Si $A$ y $B$ son finitos y $\sharp A=\sharp B$, las condiciones siguientes son equivalentes:

1. $f$ es inyectiva.
2. $f$ es suprayectiva.
3. $f$ es biyectiva.

Teorema 3.7   Una unión finita de conjuntos finitos da siempre como resultado un nuevo conjunto finito.

Definición 3.8   $\;$

• Un conjunto infinito $A$ se dice que es numerable si
  $$\sharp A=\sharp$$IN
  En caso contrario, se dice que el conjunto infinito $A$ es no numerable.
• Se dice que $A$ es `` numerable a lo más'' si o bien $A$ es finito, o bien $A$ es infinito numerable.

Ejemplos de conjuntos numerables:

• IN
• Z Z
• $\mbox{\kern3pt\vrule height 7pt depth 0pt width .8pt\rm\kern-3.3pt Q}$
• $\mbox{\kern3pt\vrule height 7pt depth 0pt width .8pt\rm\kern-3.3pt Q}^{n}$
• $\mbox{\kern3pt\vrule height 7pt depth 0pt width .8pt\rm\kern-3.3pt Q}[{\rm X}_{1},\ldots,{\rm X}_{n}]$
• Toda unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

Ejemplos de conjuntos no numerables:

• IR
• ${\cal P}($IN$)$
• En general, se verifica que $\sharp({\cal P}(A))>\sharp A$, luego existes infinitos cardinales no numerables ...

Siguiente: Sobre este documento... Subir: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS Anterior: Composición de aplicaciones