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Cuerpo

Un anillo $(K,+,\cdot)$ es un cuerpo si verifica la condición adicional de que $(K^{\ast},\cdot)$ sea un grupo, donde $K^{\ast}:=K\setminus\{0\}$. Es decir

$$\forall x\in K,\;\;(x\neq 0\Rightarrow\exists x^{-1})$$

Si además el producto es conmutativo, se trata de un cuerpo conmutativo.

Ejemplo 2.4   $\;$

1. Los conjuntos $\mbox{\kern3pt\vrule height 7pt depth 0pt width .8pt\rm\kern-3.3pt Q}$, IR y $\mbox{\kern3pt\vrule height 7pt depth 0pt width .8pt\rm\kern-3.5pt C}$ son cuerpos con sus sumas y productos respectivos.
2. Si $p$ es un número primo (positivo) y $\mbox{${\rm I} \! {\rm F}$}$$_{p}:=\{0,1,\ldots,p-1\}$, y las sumas y productos se realizan `` módulo $p$'', entonces $\mbox{${\rm I} \! {\rm F}$}$$_{p}$ es un cuerpo (finito).
3. Si se quiere construir un cuerpo no conmutativo, hace falta recurrir a los llamados `` cuaterniones''. Se dejan los detalles como ejercicio (avanzado). Se considera el conjunto (de cuaterniones) dado por
   IK$$:=\{a+bi+cj+dk\;\vert\;a,b,c,d\in$$IR$$\}$$
   donde las letras $i,j,k$ son variables que verifican las siguientes relaciones
   $$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$$
   $$ij=k,\;\;ji=-k$$
   $$jk=i,\;\;kj=-i$$
   $$ki=j,\;\;ik=-j$$
   y donde la suma y el producto se realizan como si fueran polinomios, con las simplificaciones derivadas de las reglas anteriores.