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Anillo

Un anillo es una terna $(A,+,\cdot)$ tal que:

1. $(A,+)$ es un grupo abeliano.
2. $(A,\cdot)$ es un semigrupo.
3. El producto es distributivo respecto de la suma.

Si además existe elemento neutro 1 (o unidad) del producto, el anillo se dice unitario, y si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo (puede ser ambas cosas, que es el caso más corriente, y entonces se trata de un anillo conmutativo y unitario).

Ejemplo 2.3   $$

1. $($Z Z$,+,\cdot)$ es un anillo conmutativo y unitario.
2. Si $(A,+\cdot)$ es un anillo conmutativo (y unitario) entonces los polinomios en un número finito de indeterminadas con coeficientes en $A$, junto con la suma y el producto usuales, es decir, $(A[X_{1},\ldots,X_{n}],+,\cdot)$ es un anillo conmutativo (y unitario).
3. Las matrices cuadradas $n\times n$ con la suma y el producto de matrices forman un anillo unitario (no conmutativo).
4. $($IN$,+,\cdot)$ es lo que se denomina un semianillo conmutativo y unitario; se deja como ejercicio escribir las definiciones adecuadas.

Por otra parte, se dice que $0\neq a\in A$ es un divisor de cero si existe $0\neq b\in A$ tal que $a\cdot b=0$ (por tanto, $b$ también lo es). Por ejemplo, en el anillo de matrices $2\times 2$ de coeficientes reales con la suma y el producto usuales se tiene que

$$\left(\begin{array}{cc} 1&0 0&0 \end{array}\right) \cdot \... ...\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0&0 0&0 \end{array}\right)$$

con lo que ambas matrices son divisores de cero. Así pues, si en un anillo no existen divisores de cero, es decir

$$\forall x,y\in A\;\;\;(\;xy=0\Rightarrow (x=0\vee y=0)\;)$$

entonces se dice que el $A$ es un anillo íntegro o dominio de integridad (abreviadamente se suele decir que $A$ es un dominio). Por lo que acabamos de ver, las matrices cuadradas no constituyen un dominio de integridad. En cambio, el anillo de enteros es íntegro, así como los anillos de polinomios con coeficientes en un dominio (por ejemplo Z Z$[X_{1},\ldots,X_{n}]$). Siguiente: Cuerpo Subir: Estructuras algebraicas Anterior: Grupo