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Grupo

Un grupo es un monoide $(G,\ast)$ en el que todo elemento $x\in G$ tiene inverso. Si además se verifica la propiedad conmutativa, se dice que el grupo es abeliano (o conmutativo). En la práctica, cuando un grupo es abeliano la operación se denota en forma de suma, y en caso contrario se denota en forma de producto. En el primer caso (notación aditiva), el elemento neutro se denota por 0 (cero) y el elemento `` opuesto'' de $x$ se denota por $-x$, y en el segundo caso (notación multiplicativa), el elemento neutro se denota por $1$ (unidad) y el elemento `` inverso'' de $x$ se denota por $x^{-1}$.

Ejemplo 2.2   $\;$

1. Tanto $($Z Z$,+)$ como $($IR$\setminus\{0\},\cdot)$ son grupos abelianos.
2. El grupo $P_{n}$ de `` permutaciones'' de $n$ elementos $\{1,\ldots,n\}$, junto con la operación de composición, es un grupo no conmutativo, entendiendo una permutación como una aplicación biyectiva
   $$\{1,\ldots,n\}\leftrightarrow\{1,\ldots,n\}$$

3. Los `` movimientos rígidos'' en IR$^{2}$ (o en IR$^{3}$) con la composición también son un grupo no conmutativo, entendiendo por movimiento rígido un tipo especial de aplicaciones biyectivas
   $$\varphi :$$IR$$^{n}\rightarrow$$IR$$^{n}$$
   (aquellas que conservan distancias y ángulos, es decir, esencialmente simetrías, giros y traslaciones).
4. Las matrices cuadradas de tamaño $n\times n$ son un grupo abeliano para la suma, mientras que las matrices cuadradas inversibles (con determinante no nulo) son un grupo no conmutativo para el producto.

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