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Retículo

Un retículo es una terna $(R,+,\cdot)$ tal que:

1. Ambas operaciones son asociativas.
2. Ambas operaciones son conmutativas.
3. Se verifican las `` Leyes de Absorción'' (o simplificativas):
   $$x\cdot(x+y)=x\;\;\;,\;\;\;x+(x\cdot y)=x$$

Ejemplo 2.5   $$

1. $({\mathcal P}(U),\cup,\cap)$ es un retículo.
2. $($IN$,\sqcup,\sqcap)$ es un retículo, donde
   $$m\sqcup n:=mcm(m,n)\;\; ,\;\;\;m\sqcap n:=mcd(m,n)$$

De las propiedades anteriores se deducen las de idempotencia

$$x+x=x\;\;\;,\;\;\;x\cdot x=x$$

Si se verifican las dos propiedades distributivas (de cada una de las operaciones con respecto de la otra) se trata de un retículo distributivo. Por otra parte, si existen elementos llamados 0 y $1$ tales que

$$\forall x,\;\;x+0=x$$

$$\forall x,\;\;x\cdot 1=x$$

se dice que es un retículo acotado. Si además de ser acotado, el retículo verifica que

$$\forall x,\;\;\;\exists x'\;\;\vert\;\;(x+x'=1)\wedge(x\cdot x'=0)$$

se trata de un retículo complementario ($x'$ se llama complementario de $x$). Por último, y aunque lo estudiaremos aparte con una definición `` minimal'' (es decir, incluyendo en la definición el mínimo número posible de propiedades), diremos que a un retículo distributivo y complementario se le llama álgebra de Boole. Por ejemplo, el retículo ${\mathcal P}(U)$ anteriormente citado es, de hecho, un álgebra de Boole. Siguiente: Sobre este documento... Subir: Estructuras algebraicas Anterior: Cuerpo