Cálculos correspondientes al apartado 2)
En este apartado se pide calcular el trabajo realizado por un campo de fuerza sobre una partícula (pelota unipuntual) que se desplaza a lo largo de una curva. Se trata por tanto de una integral de línea de un campo vectorial.
Consideraciones sobre el campo de fuerza
El campo que nos dan tiene una expresión muy particular
a simple vista observamos que la primera componente no depende de y ni de z,
la segunda no depende de x ni de z y la tercera no depende de x ni de y,
por lo que inmediatamente deducimos que el campo es conservativo ya que su rotacional es nulo
Un campo conservativo tiene la característica de que el trabajo realizado a lo largo de una curva no depende de la trayectoria seguida por la curva sino únicamente de sus puntos extremos. Para calcular dicho trabajo basta con evaluar la función de potencial en ambos extremos y restar los resultados.
Cálculo de la función de potencial
Una función de potencial de un campo es aquélla cuyo campo gradiente es el campo dado, es decir,
Igualando componente a componente, en nuestro caso es inmediato integrar y obtener
Además, aprovechamos para hacer la observación de que la función de potencial no depende más que de la variable z.
Subapartado a)
Se pide calcular el trabajo realizado por el campo sobre la pelota cuando esta
desliza por el tobogán comenzando en el punto
y sigue la q-curva
l=3/2.
El punto inicial nos lo dan y el final es fácil comprobar que se trata del punto
,
por tanto el trabajo pedido es:
Para practicar, calcula el mismo trabajo haciendo la correspondiente integral de línea y comprueba que el resultado es el mismo.
Subapartado b)
En esta segunda parte la pelota cae verticalmente desde el punto inicial
hasta el suelo. Si la caída es vertical el punto en que la pelota toca el suelo
será nuevamente el punto
.
Puesto que el campo es conservativo el trabajo no depende de la trayectoria sino de los puntos inicial y final, y, puesto que son los mismos que en el apartado anterior el resultado es el mismo
Subapartado c)
Finalmente la pelota cae describiendo una trayectoria cualquiera no necesariamente vertical, por lo que el punto final ya no coincidirá en general con el anteriormente calculado, pero lo que sigue siendo cierto es que la tercera coordenada del punto final será 0.
Por otro lado, según se observó antes, el campo, y su correspondiente función de potencial, tienen la particularidad de que sólo depende de z, por lo que, en este caso en particular el trabajo sólo depende de las terceras coordenadas de los puntos inicial y final, y puesto que siguen siendo las mismas que en apartados anteriores, el trabajo seguirá siendo el mismo.
