Cálculos correspondientes al apartado 1)
Subapartado b)
En este apartado se pide calcular el área de las superficies de la barrera vertical de seguridad colocada a ambos lados de la superficie de deslizamiento.
Una primera consideración a tener en cuenta será si los 25 centímetros de altura se miden sobre la dirección ortogonal a la superficie de deslizamiento
en cuyo caso el desarrollo de las paredes laterales será un par de
rectángulos de base la longitud de cada una de las curvas del borde y altura 25 cm.
o sobre la vertical del suelo (dirección del eje Z)
con lo que el desarrollo plano de las paredes de seguridad será en este caso
paralelogramos de base la longitud curva lateral correspondiente y altura que
tendremos que determinar teniendo en cuenta el ángulo que dicha curva forma con la vertical.
Lo lógico es considerar esta segunda posibilidad ya que el enunciado habla de paredes verticales de 25cm de altura, luego se entiende que esos 25 cm. de altura están medidos sobre la dirección vertical, es decir la del eje OZ.
Determinación de la altura de los paralelogramos
Para calcular la altura de los paralelogramos, teniendo en cuenta que
conocemos la longitud del lado corto, sólo necesitamos estimar el ángulo
que forma dicho lado con el lado largo.
Comencemos por el lateral externo,
que viene dado por la q-curva
l =2, es decir, la que viene parametrizada como
Tenemos que calcular el ángulo que forma esta curva con la dirección del eje 0Z, es decir, con el vector (0,0,1). La dirección tangente a la curva en un punto cualquiera de la misma viene dada por
y por el teorema del coseno, el ángulo que forma con el vector (0,0,1) verifica
Como se ve, la curva forma un ángulo constante con la dirección vertical. La altura del paralelogramo será pues
m.
Vamos ahora al lateral interno
Se trata ahora del construido sobre la q-curva l=1. Es decir, de la que se corresponde con la parametrización
Procediendo del mismo modo que antes, obtendremos que la altura del correspondiente paralelogramo y denominando b al ángulo que dicha curva forma con la vertical, tendremos que la altura del paralelogramo será en este caso
m.
Determinación de la longitud de la base de los paralelogramos
Esto es ya muy fácil, basta con calcular la longitud de las curvas y en el tramo comprendido en ambos casos entre q=0 y q=2. La longitud del borde interno será
m.
Del mismo modo, la longitud del borde externo será
m.
Áreas de las paredes
Podemos ya calcular las áreas de ambas paredes, para la interna tenemos:
metros cuadrados
Para la pared externa el resultado es
metros cuadrados
Teniendo en cuenta que se usa un kilo de pintura por metro cuadrado, el número de kilos necesarios para pintar ambas paredes por ambos lados será 3.
Algunas observaciones
¿Has observado algo curioso en los resultados obtenidos?, ¿te ha llamado algo la atención?
Calcula ahora, de la misma manera ya descrita en los apartados anteriores, el
área de la pared vertical de las mismas características anteriores construida
sobre la q-curva
.
¿Qué resultado obtienes?, ¿Qué tiene de particular?, ¿Se te ocurre algún razonamiento
geométrico (es decir, sin cálculos explícitos) que explique este resultado?
A la vista de lo anterior, ¿se te ocurre otra forma de resolver este apartado?
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