Cálculos correspondientes al apartado 1)

Subapartado a)

En este apartado se pide calcular el área de la superficie de deslizamiento. Para ello lo primero será plantear la integral correspondiente para pasar posteriormente a aproximarla mediante la fórmula de cuadratura pedida.

Planteamiento de la integral

Para calcular el área de una porción de superficie parametrizada basta con integrar el elemento de área entre los límites adecuados de los dos parámetros que dibujan exactamente la porción deseada.
En nuestro caso la determinación de los límites de integración es inmediata, la da el enunciado:

El elemento de área se define como , donde los coeficientes de la primera forma fundamental son:

 

Por tanto la integral pedida es

 

Aproximación de la integral mediante la regla del trapecio compuesta

Para calcular esta integral de forma numérica usaremos, según se pide en el enunciado, la regla compuesta del trapecio con tres nodos equidistantes. Teniendo en cuenta que el intervalo de integración tiene por extremos 1 y 2, los tres nodos serán 1, 1.5 y 2. La función que se integra es y se tiene la siguiente tabla de valores:

 

La regla del trapecio consiste en aproximar el área determinada por una función y el eje de abscisas por la suma de las áreas de los trapecios que se forman al considerar la altura dada por el valor de la función en cada nodo. Teniendo en cuenta la fórmula para el área de cada trapecio

 ½ (altura menor + altura mayor) base

y usando los valores de la tabla anterior tendremos lo siguiente:

Puesto que el enunciado no menciona nada sobre la forma de dar el resultado, es decir, sobre la aritmética que ha de usarse al realizar los cálculos podemos optar por usar aritmética exacta y dar los resultados en la forma anteriormente indicada. El resultado, teniendo en cuenta la unidad de longitud usada vendrá dado en metros cuadrados.

Otra opción sería, por ejemplo, realizar los cálculos con aritmética de calculadora, o con aritmética con un número predeterminado de dígitos.

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