Cálculos correspondientes al apartado 3)
La curva dada en el plano de los parámetros es un segmento de la recta
que une (0, 4π/15)
con ( π/20, 3π/10). La ecuación de
la recta que pasa por dichos puntos es
y operando queda
La imagen de este segmento de recta sobre la superficie es la curva C que da la carretera.
Una representación paramétrica de C se obtiene al sustituir
en la parametrización de la superficie esférica el parámetro θ en función del parámetro Φ según la relación
obtenida anteriormente:
Sin embargo para hallar la longitud de la carretera no
es necesaria la parametrización de C, ya que basta conocer la relación
existente entre el parámetro de la curva y los parámetros de la superficie
ya que los coeficientes de la primera forma fundamental permiten obtener
la longitud buscada mediante la fórmula
donde t representa el parámetro de la curva. En nuestro caso el parámetro de la curva C coincide con uno de los parámetros de la superficie, t=Φ, lo que simplifica los cálculos:
La longitud será
Esta última integral es una integral elíptica de segunda especie que no puede ser calculada por métodos normales.
Otra forma de proceder es utilizando la fórmula conocida
para la longitud de un arco de curva como la integral del módulo de la derivada
de la parametrización de la curva
El resultado obtenido es lógicamente el mismo, pero los cálculos
son algo más largos.
En los dibujos siguientes vemos como es la imagen del segmento de recta
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