Cálculos correspondientes al apartado 7)
En este apartado se pide calcular el flujo de un campo a través de la superficie del puente. En principio se trata de una integral de superficie pero en este caso el cálculo se puede realizar en términos de una integral de línea. Veamos el razonamiento:
Flujo de un campo vectorial
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie orientada se define
en términos de una integral de superficie. En nuestro caso el campo que debemos
integrar es el rotacional de F con lo que, denotando por
la
superficie del puente con la orientación especificada en el problema, el flujo
que nos piden vendrá dado por
Teorema de Stokes
El Teorema de Stokes permite convertir la integral anterior en la siguiente integral de línea
El camino de integración
corresponde al borde de la superficie del puente, recorrido de forma consistente
con la orientación especificada sobre éste (vector normal apuntando hacia
abajo), tal y como se muestra en el siguiente dibujo:
Cálculo de la integral de línea
El cálculo efectivo de la integral de línea se realiza descomponiendo el camino de integración en los cuatro tramos indicados en el dibujo anterior.
Teniendo en cuenta que el campo F está dirigido en la dirección del eje Y, es muy fácil obtener el valor de la integral de línea correspondiente a cada tramo:
La suman de los cuatro valores anteriores es el flujo que pide el enunciado:
Otras consideraciones
El signo negativo significa que, para el campo rotacional de F, el flujo neto total atraviesa el puente pasando de la parte inferior a la superior.