Cálculos correspondientes al apartado 6)

 

En este apartado se pide calcular el ángulo formado por dos curvas contenidas en el puente en uno de sus puntos de corte. Al igual que en el caso anterior, el cálculo se puede realizar empleando la primera forma fundamental.

Dibujo de las curvas que intervienen en el problema

En los siguientes dibujos se representa la trayectoria descrita por el coche (en blanco) el punto de esa trayectoria con x=0  (en azul) y la x-curva correspondiente (en amarillo):

Ángulo formado por las curvas en el punto de corte

El coseno del ángulo formado por dos curvas que se cortan en un punto y están contenidas en una superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental del siguiente modo  

donde (a1,b1) y (a2,b2) son los vectores tangentes a las curvas (dadas en el espacio de parámetros) en el punto de corte.

En nuestro caso las dos curvas implicadas son

por lo que los vectores tangentes vendrán dados por 

El punto de corte de las dos curvas al que se refiere el enunciado del problema (abscisa x=0) es el correspondiente a t=0 con lo que los vectores tangentes en ese punto son

Teniendo en cuenta que el valor de los coeficientes de la primera forma fundamental en el punto de corte ((x,y)=(0,0)) es

obtenemos

y por lo tanto el ángulo que forman ambas curvas es  (en radianes)

Otras consideraciones

De forma análoga a lo que ocurre en algunos de los anteriores apartados, también es posible calcular el ángulo formado por dos curvas en cualquiera de sus puntos de corte sin necesidad de emplear la primera forma fundamental. Para ello basta con calcular el ángulo formado por los vectores tangentes a las dos curvas (en el espacio) en el punto de corte.

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