Cálculos correspondientes al apartado 5)
En este apartado se pide realizar el cálculo de la longitud de la trayectoria de un vehículo que circula sobre el puente. Se trata por lo tanto de una aplicación más de la primera forma fundamental.
Trayectoria del vehículo sobre el puente
Los siguientes dibujos muestran la proyección de la trayectoria del vehículo proyección sobre el plano XY, así como el trayecto seguido sobre el propio puente.
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Longitud de la trayectoria
La longitud de una curva contenida en una superficie se puede evaluar por medio de una integral simple en la que intervienen los coeficientes de la primera forma fundamental. Concretamente, si en el espacio de parámetros la curva viene dada por (x(t),y(t)) con t variando entre a y b, la longitud de la curva se calcula con la siguiente integral:
En nuestro caso la trayectoria que sigue el vehículo viene determinada por
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Las cantidades que intervienen en el cálculo de la longitud son, por lo tanto:
Finalmente, obtenemos el siguiente valor para la longitud de la trayectoria:
Otras consideraciones
También es posible calcular la longitud de la curva sin emplear la primera forma fundamental. Para ello basta con calcular la integral de línea correspondiente al campo escalar unidad sobre la curva en cuestión.