Cálculos correspondientes al apartado 4)
En este apartado se pide calcular el área de la superficie del puente. En primer lugar se pide un resultado exacto, que habremos de dejar indicado en términos de una integral, y a continuación se pide una aproximación numérica a ese valor.
Cálculo exacto del área del puente
El cálculo del área de una superficie se reduce al cómputo de una integral doble en la que interviene la primera forma fundamental:
En la integral anterior S denota el espacio de parámetros de la parametrización elegida para representar a la superficie.
En nuestro caso la integral doble se reduce a lo siguiente:
La integral en la variable y se realiza de forma inmediata pero la integral en x no se puede calcular en términos de funciones elementales, por lo que la dejamos indicada:
Aproximación numérica del área del puente
La regla de Simpson establece la siguiente aproximación para el cálculo de la integral de una función sobre el intervalo [a,b]:
Para obtener la aproximación que nos piden en el problema debemos tomar
De esta forma obtenemos el siguiente resultado:
Otras consideraciones
1.- También es posible calcular el área de una superficie sin emplear la primera forma fundamental. Para ello basta con calcular la integral de superficie de la función unidad sobre dicha superficie.
2.- El valor del área con cuatro cifras decimales exactas es de 15.28. La aproximación proporcionada por la regla de Simpson es bastante pobre: 12.57, lo que supone un error de casi un 20%.