Cálculos correspondientes al apartado 2)
Estudio de la regularidad
Para estudiar la regularidad de la parametrización dada para la superficie
en el apartado 1) calculamos las derivadas parciales de r
En cada punto su producto vectorial da un vector normal a la superficie:
En los puntos en los que este vector no este definido o sea cero la superficie parametrizada no será regular. En nuestro caso el vector normal está siempre definido; veamos si se anula para algún valor de los parametros. Para ello estudiamos el cuadrado de su módulo
El segundo factor no se anula para ningún valor de ρ, pero el primero si lo hace cuando ρ=0, luego
y por lo tanto la parametrización no es regular en los puntos de la forma r(0, θ). Realmente la imagen de (0, θ) es un único punto sobre la superficie: el que da la cima de la montaña (0,0, 2π).
Primera forma fundamental
Para obtener la primera forma fundamental, calculamos los primeros coeficientes fundamentales E, F y G
La primera forma fundamental queda:
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