Cálculos correspondientes al apartado 1)
La superficie S que debemos considerar es la parte del paraboloide elíptico
que está sobre el plano z=0.
Parametrización de la superficie
Las coordenadas cilíndricas permiten obtener una parámetrización de S donde los parámetros están relacionados con las coordenadas polares del plano; de hecho son precisamente dichas coordenadas.
Recordamos que la relación entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas
viene dada por las ecuaciones
de las que se deduce inmediatamente que
.
Si (x,y,z) es ahora un punto sobre el paraboloide elíptico sus coordenadas
verificarán
La zona del paraboloide que nos interesa limita el valor de ρ
luego una parametrización de S vendrá dada por
Parametrización de la ruta de ascenso
Esta parametrización de la superficie de la montaña facilita la obtención de una parametrización para la curva C que sigue el ciclista en el ascenso. De hecho como el enunciado del problema nos da la ecuación de la proyección de la curva en polares, lo que nos están dando es la relación que existe entre los parámetros de la superficie en los puntos de la curva. Sustituyendo esta relación en r(ρ, θ) tenemos para C la representación paramétrica
El los dibujos siguientes vemos desde distintos ángulos la ruta de ascenso sobre la montaña
Regularidad de la curva parametrizada
Estudiemos ahora su regularidad. Se trata de obtener los valores del parámetro θ para los que la derivada de σ(θ) no se anula. Calculamos esta derivada
y su módulo al cuadrado:
que operando queda
no es difícil ver que
Por lo tanto la parametrización conseguida para C es regular en todos los puntos.
Extremos de la ruta de ascenso
Los extremos de la curva parametrizada son
Esto significa que la orientación sobre la curva que induce
la parametrización que hemos dado define sobre C un sentido de recorrido contrario
al que sigue el ciclista: es decir de arriba hacia abajo.
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