Cálculos correspondientes al apartado 2)
2a) obtención de una parametrización de la segunda ruta
Para conseguir una parametrización de la loxodrómica que define la segunda ruta r2 usaremos la primera forma fundamental de la superficie que define la montaña asociada a la parametrización que tiene por curvas coordenadas los meridianos y los paralelos.
parametrización de la esfera
Comenzamos pues dando una parametrización de la semiesfera superior de centro (0,0,0) y radio 1.
donde
primera forma fundamental
Para esta parametrización los coeficientes de la primera forma fundamental son
Como el coseno del ángulo que forman dos curvas contenidas en la superficie se puede escribir, utilizando los coeficientes anteriores, como
para la loxodrómica y el meridiano nos queda
ecuación diferencial para las loxodrómicas de rumbo π/4
lo que nos lleva a una ecuación diferencial para la loxodrómica
Resolvemos
Calculamos la última integral mediante un cambio de variable adecuado
en el dibujo tenemos una loxodrómica de rumbo π/4
relación entre los parámetros de la superficie que define la loxodrómica
Lo que lleva a la siguiente relación entre los parámetros
Como comprobamos realmente hay dos loxodrómicas que forman el ángulo dado con los meridiano. Una se arrollará sobre la semiesfera hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Para conseguir la constante C imponemos que la curva pase por el punto que da el inicio de las rutas (0.775, 0.62, 0.122). Comenzamos calculando los valores de los parámetros de la superficie que corresponden a dicho punto:
cálculo de las constantes
Ahora imponemos que estos valores verifiquen la relación obtenida para los puntos de la loxodrómica. Esto nos lleva a una ecuación en C que resolvemos:
Hay pues dos posibles rutas, de las dos elegimos la que se obtiene tomando el signo + y constante 0.761. Conseguimos el valor del parámetro que corresponde al extremo superior de la ruta. Como sabemos que este extremo está a la altura 0.981 utilizamos la tercera componente de la superficie
Finalmente la parametrización del trozo de loxodrómica que da la segunda ruta será
Esta curva se muestra en el dibujos siguiente
Para conseguirla hemos tenido en cuenta que la curva está sobre la superficie y que en los puntos de la loxodrómica, los parámetros de la superficie verifican la relación obtenida arriba. La orientación que induce la parametrización anterior sobre la curva es la del sentido de bajada. Si queremos una parametrización cuya orientación sea la subida, basta componer la anterior con el cambio de parámetro
2b) Longitud de la segunda ruta de escalada
Calculamos la longitud de la segunda ruta utilizando la fórmula conocida para curvas sobre superficies que utiliza los coeficientes de la primera forma fundamental que ya tenemos calculados
