(Realizado por Mª Teresa Pérez Rodríguez)
Enunciado del problema
Se pretende estudiar dos rutas de escalada a la montaña de ecuación
x2+y2+z2=1, z>0
que comienzan en el punto (0.775, 0.62, 0.122) y terminan a la misma altura z=0.981.
Realícense todas las operaciones con aritmética de tres cifras significativas y redondeo.
a) Utilizando los datos obtenidos para la primera ruta, dése una parametrización de la misma siguiendo el procedimiento que se indica a continuación:
i) Se consideran las proyecciones en el plano XY de los puntos conocidos (la proyección en el plano XY de un punto (x, y, z) se obtiene eliminando su tercera componente)
ii) A partir de dichas proyecciones, mediante interpolación polinómica, se obtiene una curva en el plano (que claramente es la proyección de la ruta buscada.
iii) Finalmente, esta curva proyección permite obtener la ruta, teniendo en cuenta que los puntos de la misma están sobre la montaña, lo que determina la tercera componente.
b) Calcúlese la longitud de esta primera ruta.
De la segunda ruta se sabe que es una loxodrómica de rumbo
π/4 con punto inicial (0.775, 0.62, 0.122).
Se pide:
a) Calcular una parametrización de la segunda ruta de escalada.
b) Utilizando la primera forma fundamental de la superficie que define la
montaña, calcúlese la longitud de la segunda ruta de escalada.
Dos montañeros comienzan la escalada de la montaña siguiendo cada uno una de las rutas anteriores. Una vez alcanzada la altura 0.981, se mueven por el paralelo hasta encontrarse (siguiendo el camino más corto) . Teniendo en cuenta sólo la acción del campo gravitatorio (terrestre) F (x, y, z)=(0, 0, -g), ¿cuál de los dos montañeros realiza menos trabajo (por unidad de masa) en la escalada? Razónese la respuesta.