Cálculos correspondientes al apartado 1)
1a) Obtención de una parametrización de la primera ruta
Para obtener la parametrización r1 de la primera ruta seguimos los pasos del enunciado:
fase de proyección sobre XY
i) Proyectamos sobre el plano XY los puntos por los que pasa la ruta. Para ello basta eliminar su tercera componente:
fase de interpolación
ii) Obtenemos el polinomio interpolador con nodos 0.775, 0.5 y 0.15 en los que toma los valores 0.62, 0.4 y 0.12, respectivamente. Este polinomio nos da la curva en el plano XY que pasa por los puntos proyectados.
Daremos el polinomio interpolador en forma de Newton. Para ello construimos la tabla de diferencias divididas de f en los puntos anteriores
El polinomio es
que operando queda
La curva resulta ser la recta y=8x
obtención de la curva sobre la superficie
iii) La ruta sobre la montaña se puede parametrizar como
Para obtener esta parametrización hemos usado como parámetro la componente x. La segunda componente sobre la curva verifica la ecuación y=8x y finalmente obligamos a que la curva se encuentre sobre la esfera, imponiendo que la tercera componente satisfaga la ecuación z=(1-x2-y2)1/2
La orientación que induce la parametrización anterior sobre la ruta de escalada es la que da el sentido de bajada. Si se quiere una parametrización para la que la orientación sea la de subida basta componer la parametrización dada con el cambio de parámetro
1b) Longitud de la primera ruta
Finalmente la longitud de la ruta vendrá dada por la integral del módulo del vector tangente a la curva, es decir,
Calculamos el vector tangente
Finalmente la integral buscada es
y la longitud de la ruta
