Cálculos correspondientes al apartado 3)
En el enunciado la curva sobre la superficie viene definida mediante la siguiente relación entre los parámetros de la superficie:
De esta forma podemos hallar una representación paramétrica de la curva C sustituyendo en la parametrización r de la superficie la variable y por su valor sobre la curva, es decir,
lo que nos lleva a
En los dibujos se aprecia la forma que tiene esta curva (sólo muestran una parte del faro).
En cuanto a la familia y-curvas se obtiene cuando θ es constante. Su parametrización será:
A la derecha vemos las dos curvas sobre la superficie
Para calcular el ángulo que forman en el punto P=(0,2,1) la curva C y la y-curva que pasa por él, necesitamos, en primer lugar, saber a que valor de los parámetros corresponde dicho punto.
de donde tenemos las ecuaciones
cuya solución en [1,21]x[0,π] es (2,π/2). Alternativamente se podía haber usado la parametrización de la curva C para obtener el valor de los parámetros en P, ya que dicho punto está sobre la curva.
La y-curva que pasa por P es la que corresponde a θ =π/2
Los vectores tangentes a estas dos curvas viene dados por
que en P son
El ángulo que forman las curvas en P viene dado por
Como los coeficientes de la primera forma fundamental se calcularon en el apartado 1), bastaría hacer las sustituciones oportunas.
Sin embargo en este caso observamos que en P la curva C tiene la misma dirección que la θ-curva que pasa por él, luego el ángulo que forman C y la y-curva es el mismo que forman las dos curvas coordenadas que pasan por P. Por otra parte, sabemos que segundo coeficiente fundamental es F=0 lo que indica que las curvas paramétricas son ortogonales en todos los puntos de la superficie.
Por lo tanto las dos curvas consideradas también son ortogonales en P formando un ángulo α= π/2.