Enunciado del problema

Para la construcción de los faros de un vehículo se utiliza una superficie de revolución que se puede parametrizar mediante la función

y que está generada por la curva y=z2+1 al girar alrededor del eje OY con y variando en el intervalo [1,21].

 

  1. Estúdiese la regularidad de la parametrización y calcúlese la primera forma fundamental de la superficie.
     
  2. Encuéntrese una parametrización diferente a la dada para la misma superficie.
     
  3. Durante las pruebas de resistencia de materiales que controlan la calidad de las superficies construidas se observa que la mayoría se rompen siguiendo una curva definida por la condición 


    Dése una parametrización de dicha curva y encuéntrese el ángulo que forma con la y-curva correspondiente en el punto  P = (0, 2, 1).
     
  4. Para obtener las propiedades reflectantes adecuadas se recubre la superficie con una pintura especial cuyo coste es de 100 € el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar cada faro si los parámetros y, θ están expresados en centímetros y radianes respectivamente?
     

  5. El faro funciona situando una lámpara halógena próxima a la superficie reflectante. Si la distribución de temperaturas generada por dicha lámpara viene expresada por la función


    en grados centígrados., ¿Cuál es el flujo de calor a través de la superficie del faro?  (tómese la conductividad térmica k=0.01 cal/cm s ºC).