Cálculos correspondientes al apartado 5)

El sistema de ventilación instalado en el hangar hace que el aire se mueva y su velocidad viene dada por el siguiente campo

F(x, y, z)=(0, x2+z2, 0)

Para calcular la cantidad de aire que atraviesa la salida debemos obtener el flujo de F a través de la superficie de salida que viene dado por la correspondiente integral de superficie.

La superficie de la salida del hangar

En la figura se representa el hangar y la superficie de salida.

Esta superficie es la parte del plano y=30 comprendida entre la parábola z=1-x2 y z=0, como se muestra en las figuras siguientes.

      

En primer lugar necesitamos una parametrización de la superficie sobre la que hay que integrar.

Conseguimos una parametrización de la superficie de salida S1 tomando la parametrización del  plano definida cuando los parámetros son las variables x y z y su variación  es adecuada, es decir

 

y  el conjunto V donde varían los parámetros es 

Cálculo del flujo de F

La integral de superficie se calcula como

donde s'u y s'v son las derivadas parciales de la parametrización con respecto a los parámetros:

El producto vectorial de las derivadas es

Calculamos la integral

Interpretación del signo de la integral

Como sabemos la integral de superficie de un campo vectorial es lo que se denomina una integral orientada, es decir, su signo varía con la orientación elegida para la superficie. La orientación de la superficie se define eligiendo un sentido para el vector normal cuya dirección es la del vector  producto vectorial de las derivadas parciales de la parametrización utilizada. En nuestro caso hemos tomado como vector normal para realizar la integral

Al tomar el vector (0,-1,0) hemos fijado una orientación en la superficie.

El hecho de que la integral de superficie calculada sea negativa indica que el movimiento del fluido se opone al sentido del vector normal elegido.

De hecho el sentido elegido para el vector normal apunta hacia el interior del hangar mientras que el aire se mueva hacia fuera del mismo.

 

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