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Conceptos generales sobre relaciones

En primer lugar introducimos el concepto de relación entre conjuntos:

Definición 2.1   Una relación $R$ entre los conjuntos $A_{1},\ldots,A_{n}$ es cualquier subconjunto

$$R\subseteq A_{1}\times\ldots\times A_{n}$$

Los conjuntos $A_{i}$ son los dominios de la relación, el número de elementos de $R$ se llama cardinalidad, y el número $n$ se denomina grado de $R$.
Para indicar explícitamente la relación es de grado $n$, se dice también que $R$ es una relación $n$-aria.

En el caso particular $n=2$, una relación binaria $R$ entre dos conjuntos $A$ y $B$ es un subconjunto

$$R\subseteq A\times B$$

Se interpreta que $R$ establece una `` relación'' entre elementos de $A$ y elementos de $B$. También se puede interpretar, como ya se ha visto en el tema de Teoría de Conjuntos, que $R$ hace corresponder a elementos de $A$ imágenes entre los elementos de $B$. Así, una correspondencia $f$ entre $A$ y $B$ se define como una terna $f=(A,B,R)$ donde $R$ es una relación entre $A$ y $B$, y $R$ se denomina grafo de la correspondencia $f$.

Nota 2.2 (Lógica y relaciones)   Existe un tipo de lógica llamada `` Lógica Relacional'', basada en relaciones de grado $n$. Esta Lógica tiene interés en la construcción de `` Bases de Datos Deductivas'', que se emplean en el diseño de `` Sistemas Expertos'' (Inteligencia Artificial).

Las operaciones conjuntistas básicas que se pueden realizar con relaciones `` compatibles'', es decir, subconjuntos del mismo producto cartesiano $A_{1}\times\ldots\times A_{n}$, son las siguientes:

1. Unión: $R\cup S$, formada por las $n$-uplas que están en $R$, en $S$ o en ambas a la vez.
2. Intersección: $R\cap S$, formada por las $n$-uplas que están simultáneamente en $R$ y en $S$.
3. Diferencia: $R\setminus S$, formada por las $n$-uplas que están en $R$ pero no en $S$.
4. Complementación: $\overline{R}:=(A_{1}\times\ldots\times A_{n})\setminus R$, es decir, formada por todas las $n$-uplas que no están en $R$.

Además, entre dos relaciones compatibles $R$ y $S$ se verifica la contención conjuntista $R\subseteq S$ si para toda $n$-upla $(a_{1},\ldots,a_{n})$ se tiene que

$$(a_{1},\ldots,a_{n})\in R \Rightarrow (a_{1},\ldots,a_{n})\in S$$

En particular, dos relaciones son iguales si

$$(R\subseteq S)\wedge(S\subseteq R)$$

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