J. Rojo
Espacios topológicos imprecisos
Tesis doctoral - Ph. D. Thesis
Doctor en Ciencias Matemáticas - Ph. D. Mathematics
Director: Antonio Pérez Gómez
July 4, 1981, Depto. de Teoría de Funciones, Facultad de Ciencias, Univ. de Valladolid, 158 pp.

Intruducción:
La memoria que presentamos tiene por objeto generalizar las estructuras topológicas. Vamos a exponer brevemente el alcance y la intención de la generalización a que nos referimos.
    Supongamos que podemos conocer una estructura topológica con un grado creciente de precisión, en el sentido de que, con mayor seguridad, podemos clasificar como abiertos una clase menor de conjuntos. La colección de estas sucesivas aproximaciones es lo que conocemos como topología imprecisa.
    En el caso en que dichas aproximaciones sean de hecho idénticas, podemos considerar la estructura como conocida y abarcar de este modo los espacios topológicos ordinarios.
    Asimismo, los conceptos clásicos de topología admiten una graduación en su definición, lo que da lugar a las nociones que enunciamos. Todas ellas abarcan como caso particular el clásico, hecho que se recalca en cada ocasión.
    Advirtamos que nos hemos mantenido en el campo de la teoría de conjuntos usual. Diferimos en esto de otra de las generalizaciones de la topología llevadas a cabo recientemente, la de los `fuzzy topological spaces' (que en castellano suele traducirse por espacios topológicos difusos o borrosos) debida a Chang [1]. Los elementos de una topología difusa (fuzzy) sobre un conjunto $X$ no son subconjuntos de $X$, sino lo que suele llamarse conjuntos difusos (fuzzy sets) en $X$.
Aunque tal vez la intencionalidad de fondo sea en ambos casos la misma, la naturaleza de las estructuras es radicalmente diferente. Para Chang, la topología difusa es una estructura concreta formada por subconjuntos imprecisos. Para nosotros, la topología imprecisa será una estructura variable o, mejor, indeterminada, pero formada por subconjuntos precisos.
    Salvo casos triviales, parece imposible relacionar ambas ideas. Explicaremos esto próximamante en un artículo. No hemos creído conveniente hacerlo aquí porque nos exigiría previamente una larga introducción sobre los conjuntos y las topologías difusas que no son en general conocidas salvo por los especialistas en este campo.
    No hemos llevado al fin las posibilidades existentes, ya que nuestro intento era asentar las bases de la teoría,
pero parecan apuntarse varias aplicaciones a casos de interés; básicamente a la descripción de fenómenos sobre los que nuestra información es incompleta.
    Así, a partir de la teoría de errores clásica que trata de acotar los incrementos de la función para incrementos dados en la variable, puede concebirse un estudio análogo cuando por una parte se acepta una determinada inexactitud en la acotación y por otra se consideran funciones con un cierto grado de continuidad.
    En la teoría de juegos podrían considerarse topologías asociadas a un juego, con nivel creciente de seguridad, en base a conocimientos sobre las preferencias en la elección de estrategias por alguno de los adversarios.
    Por fin, pueden establecerse estructuras topológicas imprecisas en conjuntos de puntos de los que únicamente conocemos la situación en forma no bien determinada, mediante la definición de una distancia como las que consideramos en el último capítulo.
    Para la lectura de esta memoria no son necesarios más que conocimientos elementales de topología general, que se encuentran en cualquiera de los numerosos textos sobre dicha materia, particularmente en los que abordan la convergencia mediante la utilización de filtros.
    Antes de cada capítulo hemos hecho una breve declaración de intenciones que puede facilitar, a posteriori, la comprensión del texto.
    Hemos reservado siempre los símbolos $\epsilon$ y $\delta$ para objetos cuyo campo de variación es siempre un  subconjunto de $[0,1]$. Así, por ejemplo, $\epsilon<1/2$ significa siempre $0\leq\epsilon<1/2$\,; hay que interpretar así todas las restricciones de este tipo.
    Los nombres de PROPOSICIÓN, LEMA y COROLARIO poseen el sentido habitual. Se enuncian como TEOREMA aquellas proposiciones que a nuestro
entender resultan más significativas o más importantes para los desarrollos posteriores.
    Los capítulos se referencian con un número, los apartados con dos y los párrafos con tres. Para citar un resultado o un conjunto de ellos, pondremos entonces capítulo 3, o apartado (3.1) o párrafo (3.1.19) según los casos.

[1] C.L. Chang, Fuzzy Topological Spaces,
J. Math. Anal. Appl., 24 (1968), pp.182-190..


Contents:
Capítulo 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS IMPRECISOS  1
1.1. Definición de topología imprecisa  1
1.2. e-abiertos de una topología imprecisa  4
1.3. Topologías imprecisas normales  8
1.4. e-cerrados y e-entornos  12
Capítulo 2. COMPARACIÓN DE TOPOLOGÍAS IMPRECISAS  15
2.1. Aplicaciones f-continuas  15
2.2. Comparación de topologías imprecisas  25
Capítulo 3. TRAZA DE UNA TOPOLOGÍA IMPRECISA  29
3.1. Traza de una topología imprecisa  30
3.2. Abierto de seguridad  39
3.3. Subespacios y continuidad  42
Capítulo 4. FILTROS  45
4.1. La noción de filtro  46
4.2. Ultrafiltros  52
4.3. Imagen e imagen recíproca de un filtro por
       una aplicación  55
4.4. Extensión de un filtro. Traza de un filtro.
       Generador de un filtro  60
4.5. La relación G( <= f)F  64
Capítulo 5. CONVERGENCIA  69
5.1. El filtro de los entornos de un punto  70
5.2. Convergencia de filtros  76
5.3. Continuidad local  82
Capítulo 6. ESPACIOS COMPACTOS  89
6.1. Adherencias de un conjunto  89
6.2. Puntos adherentes a un filtro  96
6.3. Espacios compactos  99
6.4. Subconjuntos compactos de un espacio
       topológico impreciso  103
6.5. Espacios separados  109
Capítulo 7. GENERACIÓN DE TOPOLOGÍAS IMPRECISAS  115
7.1. Generación por una cadena finita de
       topologías  115
7.2. Generación de t.i. por entornos  117
7.3. Generación de t.i. por adherencias  122
Capítulo 8. TOPOLOGÍAS IMPRECISAS DEFINIDAS POR
                 UNA DISTANCIA  127
8.1. Distancia sobre un conjunto  127
8.2. T.i. dada por una distancia  131
8.3. Empleo de sucesiones  140
SÍMBOLOS Y PROPIEDADES  153
ÍNDICE  157
DOCUMENTOS
AMS(MOS) subject classification: 54J05

Preprint as PDF thesis.pdf and as Compressed PDF thesis.pdf.gz