Jorge Álvarez
Tesis doctoral - Ph. D. Thesis
Métodos GRK para ecuaciones diferenciales ordinarias
July 19, 2002, Depto. de Matemática Aplicada a la Ingeniería, E.T.S. de Ingenieros Industriales, Univ. de Valladolid, 149 pp.

Prólogo:

La Tesis Doctoral que presenta Jorge Àlvarez para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas posee un aspecto esencial que conviene señalar. Y es que, lejos de constituir una disquisición puramente teórica, de mucha importancia científica, pero de dudosa aplicación a tareas prácticas (al trabajo diario de cálculo, que diríamos mejor), pretende en todo momento mantenerse anclado a las necesidades de quien desea enfrentarse a la integración efectiva de problemas de valores iniciales. El espectro de científicos y técnicos a los que estas notas pueden interesar es muy amplio. Este hecho se debe a que, hoy, buena parte de los problemas prácticos a los que todos nos enfrentamos están ligados a la resolución, especialmente numérica, de problemas de valores iniciales formulados en términos de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Quienes somos conscientes de la importancia del tema a que aludimos, estamos en condiciones de reconocer las ventajas que nos proporcionan los denominados Métodos GRK (por 'generalized Runge-Kutta methods'). Su orientación al tratamiento de los problemas rígidos (o~'stiff' como aparece frecuentemente en la literatura) marcha simultánea con la atención que en las últimas décadas se viene prestando a este tipo de comportamiento. Enfocados a este propósito, los métodos GRK permiten aumentar el orden manteniendo el número de etapas. Es cierto que el número de etapas viene constituyendo el criterio empleado en la valoración del 'coste' de un método, aunque hay que reconocer que, dependiendo del problema, pueden existir mayores ingredientes de 'gasto computacional'.

Pero, a esta ventaja que ya sería importante por ella misma, hay que añadir otras que no lo son menos. Contrariamente a la generalidad de los métodos diseñados para problemas rígidos, los métodos GRK no incluyen la necesidad de evaluar la (generalmente costosa) matriz Jacobiana.

Y, dejada para el final por ser una de las características mayores, está la importante mejora de la estabilidad lineal sin perder el carácter explícito (o linealmente implícito) de los métodos.

No cabe duda de que las anteriores ventajas no pueden ser gratuitas. En efecto, el autor de la Tesis nos hace ver que estos métodos no pueden ser aplicados a cualquier tipo de sistemas. Pero nos muestra al mismo tiempo la fecundidad de los problemas a los que los métodos GRK sí que pueden enfrentarse. Justamente termina el trabajo con una exploración, ligera pero importante, de las técnicas para ecuaciones especiales de segundo orden (entre los que se
encuentran importantes problemas orbitales) a las que sus métodos permiten tratar ventajosamente. Posiblemente será éste el campo en el que los derivados de los métodos GRK presentarán mayores ventajas de uso. El futuro tendrá, como siempre, la última palabra.

Jesús Rojo, Valladolid 2002.


Contents:
PRÓLOGO  xi
CONTENIDO  xiii
Capítulo 1. INTRODUCCIÓN  1
1.1  Breve reseña histórica  2
1.2  Ventajas y limitaciones de los nuevos métodos  5
1.3  Cómo surgen los nuevos métodos  8
     1.3.1  La ecuación escalar autónoma de primer orden  8
     1.3.2  Una primera aproximación a los nuevos métodos  8
     1.3.3  Otra aproximación a los nuevos métodos  11
Capítulo 2. MÉTODOS DE DOS ETAPAS  15
2.1  Expresión general de los métodos de dos etapas  16
     2.1.1  Descripción de los métodos  16
     2.1.2  Una simplificación útil  17
     2.1.3  Métodos de tipo polinomial  18
     2.1.4  Métodos de tipo racional  19
2.2  Orden de consistencia de los métodos de dos etapas  22
     2.2.1  Condiciones de orden para los métodos de dos etapas de tipo polinomial  22
     2.2.2  Condiciones de orden para los métodos de dos etapas de tipo racional  24
     2.2.3  Un primer ejemplo de método de orden tres  25
2.3  Propiedades de estabilidad lineal de los métodos de dos etapas  28
     2.3.1  Función de estabilidad lineal de los métodos de dos etapas  28
     2.3.2  Métodos de dos etapas A-estables y L-estables  29
     2.3.3  Experimentos numéricos con problemas rígidos  32
     2.3.4  Construcción de métodos a partir de funciones de estabilidad prefijadas 34
     2.3.5  Un método de dos etapas de tipo exponencial  36
Capítulo 3  Métodos de p etapas  39
3.1  Expresión general de los métodos de p etapas  39
     3.1.1  Descripción de los métodos de p etapas  39
     3.1.2  Reformulación de los métodos de p etapas  42
3.2  Convergencia de los métodos de p etapas  45
     3.2.1  Consistencia y orden de los métodos de p etapas  45
     3.2.2  Convergencia de los métodos de p etapas  47
3.3  Métodos de tipo polinomial  54
     3.3.1  Expresión de los métodos de p etapas de tipo polinomial  54
     3.3.2  Orden de los métodos de dos etapas de tipo polinomial  56
     3.3.3  Orden de los métodos de tres etapas de tipo polinomial  57
3.4  Métodos de tipo racional  60
     3.4.1  Expresión de los métodos de p etapas de tipo racional  61
     3.4.2  Orden de los métodos de dos etapas de tipo racional  62
     3.4.3  Orden de los métodos de tres etapas de tipo racional  63
3.5  Propiedades de estabilidad lineal de los métodos de p etapas  65
     3.5.1  Función de estabilidad de los métodos de p etapas  65
     3.5.2  Métodos A-estables de dos y tres etapas  66
     3.5.3  Experimentos numéricos  69
Capítulo 4  Métodos de p etapas para sistemas  75
4.1  Expresión general de los métodos de p etapas para sistemas  76
     4.1.1  Forma general del sistema de EDOs  76
     4.1.2  Descripción de los métodos de p etapas para sistemas  77
     4.1.3  Un primer ejemplo de método de dos etapas para sistemas  79
     4.1.4  Un primer experimento numérico con sistemas  81
     4.1.5  Varios experimentos numéricos de interés  86
4.2  Orden de consistencia de los métodos para sistemas  89
     4.2.1  Condiciones de orden para los métodos de dos etapas  89
     4.2.2  Condiciones de orden para los métodos de tres etapas  92
4.3  Propiedades de estabilidad lineal de los métodos para sistemas  100
     4.3.1  Función de estabilidad lineal de los métodos para sistemas  100
     4.3.2  Un primer ejemplo de método L-estable de tres etapas y orden cuatro  102
     4.3.3  Varios experimentos numéricos con problemas rígidos  105
     4.3.4  Otros ejemplos de métodos de dos y tres etapas A-estables y L-estables  108
     4.3.5  Experimentos numéricos con los métodos de dos y tres etapas A-estables y L-estables: La ecuación de Van der Pol  115
     4.3.6  Experimentos numéricos con los métodos de dos y tres etapas A-estables y L-estables: La ecuación de Burgers  121
Capítulo 5  Métodos para ecuaciones especiales de segundo orden  125
5.1  Métodos de dos etapas para ecuaciones especiales de segundo orden  126
     5.1.1  Expresión general de la ecuación especial de segundo orden  126
     5.1.2  Un primer ejemplo de método para la ecuación especial de segundo rden  127
     5.1.3  Una primera aproximación a los métodos de dos etapas  129
     5.1.4  Expresión general de los métodos de dos etapas  132
     5.1.5  Condiciones de orden para los métodos de dos etapas  133
     5.1.6  Construcción de métodos de dos etapas para problemas oscilatorios  138
     5.1.7  Experimentos numéricos con los métodos de dos etapas  141
BIBLIOGRAFÍA  145
AMS(MOS) subject classification: 65L05, 65L07, 65L20

Preprint as PDF joralv.pdf