Funciones elementales reales

Volver a página principal

Función potencia.

Función potencia de base real y exponente natural.

Definición.- Dado nÎ IN se define la potencia n-ésima de un número real x como el producto de n factores iguales a x:

                                                             xn=x.x. ... n).x
Definición.- Dado nÎ N se define la función potencia n-ésima como la función real de variable real que a cada x le asigna xn.

El cálculo con potencias tiene las siguientes propiedades:

         1   (xy)n =xn yncualesquiera que sean x,yÎ IR.
         2   xn xm =xn+m   y si n>m entonces x n/xm=xn-mcon xÎ IR.
         3   (xn) m =xn m con xÎ IR.
            4    Si  0<x<y  entonces  0< xn <yn. La función potencia n-ésima es por tanto una funciónestrictamente creciente en el
                      intervalo  [0,+¥ ), y por lo tanto es inyectiva de IR+ en IR+ . Como consecuencia de esta propiedad se tiene

       5    La función potencia n-ésima no está acotada superiormente, es decir dado cualquier número real M siempre existe x tal que
           xn>M, más concretamente         6 La función potencia n-ésima es una función continua en IR         7   La función potencia n-ésima tiene derivadas continuas de cualquier orden:
La siguiente figura muestra la gráfica de varias funciones potenciales de exponente natural
 
 


 

 

Funciones polinómicas y racionales

Definición.- Una función polinómica es una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente natural:

Las funciones polinómicas son continuas e indefinidamente derivables en todo IR.
 


 
 

Definición.- Una función racional es una función que se obtiene como cociente de dos funciones polinómicas:

 

Una función racional está definida en todo IR excepto en los puntos donde el denominador se anula. En su dominio de definición, las funciones racionales son continuas e indefinidamente derivables.
 
 
 

 
 
 
 

Potencias de base real y exponente entero.

Cuando el exponente es un entero positivo recuperamos la definición del apartado anterior.
Para los enteros negativos -n  se define

                                            x-n=(1/x)n=(x-1)n

y finalmente  si n=0 convendremos que x0=1. Tenemos pues

Definición.- Para cualquier nÎ Z se define la función potencia n-ésima como la función que a cada xÎ IR le asigna xn.

Las propiedades 1, 2 y 3 que vimos para las potencias de exponente natural se generalizan sin dificultad a este caso. Para exponente negativo –n tenemos:

4’ Si 0<x<y entonces 0<y-n<x-n. Es decir la potencia de exponente negativo es una función estrictamente decreciente en (0,¥ ).

5’ La función potencia de exponente negativo esta acotada inferiormente en (0,¥ ). Más concretamente se tiene

6’ Sin embargo, no está acotada superiormente en dicho intervalo puesto que
Las siguientes gráficas muestran algunas funciones potencia con exponente negativo; nótese que en el 0 no están definidas.


 

Raíces de índice natural de números reales positivos.

Definición.- Dado un número real positivo x y un número natural n, se dice que otro número real y es la raíz n-ésima de x si se verifica yn=x.

Teorema.- Todo número real positivo posee una única raíz n-ésima positiva.

Si n es par  los  números reales positivos tienen además una raíz n-ésima negativa.

En la figura se muestran las gráficas de las funciones raiz segunda, tercera y cuarta positivas.
 


 
 

Potencias de base real y exponente racional.

Definición.- Sea x>0 un número real positivo y r=p/q un número racional con q>0 y p/q irreducible, se define xr como la raíz q-ésima de xp(nótese que xpes un número real positivo y por tanto su raíz q-ésima está definida).

Si q es impar entonces xr toma un único valor (positivo), si q es par entonces la raíz toma dos valores reales de signos opuestos. Esto nos lleva a la siguiente definición:

Definición.- La aplicación que a cada número real x>0 le hace corresponder xr (>0)  tomando para todo x la misma determinación positiva en caso de que q sea par se denomina función potencia de exponente r.

Las propiedades 1,2 y 3 de las potencias con exponente entero se pueden generalizar al caso racional. Además tenemos:

4’’ si  0<x<y  entonces   0<xr<yr  si  r>0   y   0<yr<xr  si  r<0. Es decir las potencias de exponente racional positivo son funciones estrictamente crecientes mientras que las de exponente racional negativo son estrictamente decrecientes en (0,+¥ ).

5’’ Las funciones potencia de exponente racional positivo no están acotadas superiormente en (0,+¥ ), de hecho si r>0

Las funciones potencia de exponente racional negativo están acotadas inferiormente por ser positivas en (0,+¥ ), más concretamente  si r<0
                 6’’ Las potencias de exponente racional positivo están acotadas inferiormente en  (0,+¥ ) y se tiene para r>0

                       Las potencias de exponente racional negativono están acotadas superiormente en dicho intervalo pues si r<0
7’’ La propiedad siguiente nos permite comparar dos funciones potencias con exponentes racionales distintos:

                        si  r < s  entonces  xr< xs  cuando  x>1     y xs < xr cuando 0<x<1.
 
 
 


 
 
 
 

Potencias de base real positiva y exponente real.

Recordemos que todo número real viene definido por un par sucesiones de números racionales monótonamente convergentes, cuyo límite común es precisamente el número real en cuestión. Utilizando este hecho definimos la potencia de exponente real usando la potencia de exponente racional que hemos definido en el apartado anterior.
 
 

Definición.- Dado un par de números reales x>0  y  a>0 , si rn y sn son las sucesiones de números racionales positivos que definen a entonces se define la potencia a de x como  el número real

Cuando el exponente sea real negativo a<0, se tiene xa =(x-a ) -1 . Para a=0 convendremos que x0=1.

Definición.- La función potencia de base real positiva y exponente real a se define como la aplicación que a cada número real x>0 le hace corresponder el número real xa

A continuación recogemos las propiedades de esta función que generalizan las vistas para las otras funciones potencia:
 

  1. xa ya=(xy)a para cualesquiera x,y Î IR.
  2. xa xb=xa+b cualesquiera que sean los números reales a y b .
  3. (xa )b=xa b cualesquiera que sean los números reales a y b .
  4. Si  0<x<y  se tiene: 0 < xa < ya   para a>0   y   0 < ya < xa  para a<0.

    5. Es decir las funciones potencia con exponente real positivo son estrictamente crecientes mientras que las de exponente negativo son estrictamente decrecientes y ambas positivas en el intervalo (0,+¥ ).
  5. Las funciones potencia de exponente real no están acotadas superiormente en (0,+¥ ) mientras que si lo están inferiormente. De hecho se tiene

  6. Si  a< b entonces:    xa < xb    cuando x > 1    y      xb < xa   cuando 0 < x < 1

 
 
 


La función exponencial

Definición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x le asigna la potencia ax se denomina función exponencial de
base a.

Las figuras siguientes muestran funciones exponenciales en las que se observan las propiedades que se detallan a continuación.
 
 


 
 
 

Propiedades:

Esta última propiedad nos sirve para definir una nueva función, inversa de la anterior en el sentido de que la composición de ambas da la función identidad.
 
 

La función logarítmica

Definición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x>0 le asigna loga x (que es único) se denomina función logarítmica en base a.

Las propiedades de está función se deducen inmediatamente de las de la función exponencial:

 

Las funciones hiperbólicas.

Definición.- Llamaremos función coseno hiperbólico y función seno hiperbólico a las aplicaciones de IR en sí mismo, que representaremos por cosh x y senh x respectivamente, definidas por las siguientes expresiones


 


 

A partir del seno y coseno hiperbólicos se pueden definir el resto de las funciones hiperbólicas: tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas, como


 
 

A partir de las definiciones se deducen las siguientes igualdades

  • cosh (-x)= cosh x;

    • senh (-x)= -senh x;
    th(-x)=-th x.
  • cosh2 x-senh2 x=1;

    • 1-th2 x=1/cosh2 x;
  • cosh (x+y)=cosh x chos y+ senh x senh y;

    • cosh 2x= cosh2 x +senh2 x;
  • cosh (x-y)=cosh x chos y- senh x senh y;
  • senh (x+y)=senh x chos y+cosh x senh y;

    • senh 2x=2 senh x cosh x;
  • senh (x-y)=senh x chos y- cosh x senh y;
  • th (x+y)= (th x+ th y)/(1+th x thy);
  • th(x-y)=(th x-th y)/(1- th x th y);


    • Las funciones trigonométricas circulares.

    Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal. Para ello necesitamos el concepto de ángulo dirigido.

    Un ángulo dirigido puede ser considerado como un par de semirrectas (l1,l2) con el mismo punto inicial.

    Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto (x,y) tal que x2+y2=1.
     

    Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:
     

    Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x .
    El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número.
    Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.
     


    El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2p  la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2p +x radianes son idénticos.

    Se puede definir ahora el seno de xcomo el seno del ángulo de x radianes.

    La definición anterior depende del concepto de longitud de una curva. Para evitar esto, formularemos de nuevo la definición en términos de áreas
    (que puede ser tratadas  mediante la integral).
    Supongamos ahora que x es la longitud del arco del círculo unidad desde (1,0) hasta P; este arco contiene así x/2p de la longitud total (2p ) de la circunferencia del círculo unidad.

    Designemos por S el sector del círculo determinado por el ángulo definido por P (ver la figura).

    El área de este sector ha de ser x/2p veces el área del círculo unidad, la cual damos por supuesto que es p .
    Entonces el área de S es (x/2p )p =x/2.
    Podemos definir ahora el coseno de x y el seno de x, que denotaremos por cos x y sen x, respectivamente, como las coordenadas del punto P que determina un sector de área x/2 en el círculo unidad.

    Para la definición rigurosa comenzamos con la definición de p como dos veces el área del semicírculo unidad:
     
     

    Definición.-
     

    Definamos ahora A(x) para -1 £ x £ 1 como el área del sector limitado por el círculo unidad, el eje horizontal y la semirrecta que pasa por el origen y el punto (x,(1-x2)1/2) sobre el círculo unidad .

    Definición.- Si -1 £  x £ 1, entonces

    Obsérvese que A(x) es derivable en -1 £ x £ 1  y su derivada es

    Para 0 £ x £p queremos definir cos x y sen x como las coordenadas de un punto P, (cos x, sen x), sobre el círculo unidad que determina un sector cuya área es x/2. En otros términos:

    Definición.- Si0 £ x £p, entonces cos x es el único número en [-1, 1] tal que


    y

    Para saber que existe un número y que satisface A(y)=x/2, utilizamos el hecho de que A es continua y toma los valores 0 y p /2 (teorema de los valores intermedios).


     

    Esta definición se extiende primero al intervalo [-p , 0 ) de la forma siguiente:

    Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica.
    Las figuras siguientes muestran esta extensión.
     
     


     
     

    Teorema.- Las funciones seno y coseno son continuas en IR y admiten derivada en todo punto verificándose que

    Además, son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:

    Definición.- El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:
     


     

    Véanse las gráficas de estas funciones en las figuras siguientes
     

    Propiedades de las funciones trigonométricas.
  • cos2 x + sen2 x =1,
  • cos(x+y)=cos x cos y - sen x sen y,

    • cos 2x= cos2 x - sen2x
  • cos(x- y)= cos x cos y + sen x sen y,
  • sen (x+y)=sen x cos y + cos x sen y,

    • sen 2x= 2cos x sen y
  • sen (x- y)=sen x cos y- cos x sen y

    •  

     
     
     

     

     

     

    Las funciones trigonométricas inversas.

    La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por

                                                f -1(x)=arc sen x
    estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.

    Es inmediato comprobar que arc sen (- x)=- arc sen x para todo x en [-1, 1].

     

    La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por
     

                                                                    f -1(x)=arc cos x
     

    estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.

    Nòtese que en ambos casos las funciones seno y coseno no se han considerado en toda la recta real puesto que no en ella no son inyectivas y por lo tanto su función inversa no estaría definida.
     


     
     

    Teorema.- Las funciones trigonométricas inversas arc cos x y arc sen x definidas en el intervalo [-1,1] son derivables en todos los puntos de (-1, 1) y se tiene

    La función f(x)=tag x, definida en el intervalo (-p /2,p /2), es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en IR puesto que

    Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre toda la recta real y su función inversa
                                                    f -1(x)=arc tag x

    que estará definida en IR, es también continua y estrictamente creciente.
     
     


     
     

    Además arc tag x es derivable en todo punto y su derivada viene dada por

     

    Las funciones trigonométricas inversas verifican las siguientes igualdades

  • arc cos x + arc cos (-x) = p ,
  • arc cos x + arc sen x = p /2,
  • arc tag x = -arc tag (-x).
    • El resto de las funciones trigonométricas inversas se consiguen de forma similar aunque es usual considerar la función cotangente definida en (0,p ), la función secante definida en [0, p ]-{p /2} y la función cosecante en el intervalo [-p /2,p /2]-{0} (donde son inyectivas) para definir sus inversas que entonces verificarán las siguientes igualdades:


     
     

    Las funciones hiperbólicas inversas.

    La función f(x)=senh x, definida en toda la recta real, es continua y estrictamente creciente. Además se tiene

    Luego esta función es un homeomorfismo de IR en IR, su función inversa

                                                    f -1(x)=arg sh x

    (argumento del seno hiperbólico) es también continua y estrictamente creciente en IR.
     

    La función arg sh x se puede expresar utilizando la función logaritmo como

    para demostrar esto basta observar que

    La función cosh x es continua y estrictamente creciente en el intervalo [0, ¥ ) y se tiene

    Luego esta función es un homeomorfismo del citado intervalo sobre [1, ¥ ). Su función inversa

                                                    f -1(x)=arg cosh x

    (argumento del coseno hiperbólico) es también continua y estrictamente creciente definida en [1,¥ ) .
     

    De igual forma que arg senh x , se puede expresar mediante el logaritmo como

    Si tomamos ahora la función cosh x en la semirecta (-¥ , 0], aquí dicha función es continua y estrictamente decreciente y resulta ser un homeomorfismo de dicho intervalo en [1, ¥ ) . Por lo tanto tenemos definida la función inversa que se expresa utilizando el logaritmo como

    Como podemos observar tenemos dos valores de arg cosh para cada x en la semirecta [1, ¥).
    Esto indica que la función arg cosh x es multivaluada: cada una de las funciones univaluadas arg cosh x definidas anteriormente se conoce como una determinación o rama de la función arg cosh x multivaluada.
     
     
     


     
     
     

    Teorema.- Las funciones hiperbólicas inversas son derivables y sus derivadas vienen dadas por

    Por último para la función th x, definida en toda la recta real y estrictamente creciente en ella, se tiene definida su inversa en el intervalo (-1, 1), puesto que

    Dicha función inversa, arg th x, está definida, es continua y estrictamente creciente en el intervalo (-1, 1) y se expresa utilizando el logaritmo como


     
     


     

    La derivada de esta función viene dada por

    El resto de las funciones hiperbólicas inversas se definen análogamente.

     

    Volver a página principal

     

    Página realizada por: M. Teresa Pérez