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Operaciones binarias

En primer lugar introducimos el concepto de operación binaria, tanto interna como externa, si bien nos centraremos en el primer caso, puesto que el ejemplo más interesante de operación externa tiene que ver con espacios vectoriales, que se estudiarán con detalle en la correspondiente asignatura del Plan de Estudios (Álgebra Lineal).

Definición 1.1   $\;$

i)

Una operación interna `$\ast$' en un conjunto $A$ es una aplicación

$$\begin{array}{ccl} A\times A&\rightarrow&A\\ (x,y)&\mapsto&x\ast y\in A \end{array}$$

ii)

Una operación externa `$\ast$' en $A$ con operadores en $B$ (por la izquierda) es una aplicación

$$\begin{array}{ccl} B\times A&\rightarrow&A\\ (b,a)&\mapsto&b\ast a\in A \end{array}$$

En lo que sigue supondremos que `$\ast$' es una operación interna en $A$. En ese caso, un subconjunto $C\subseteq A$ se dice que es cerrado con respecto a dicha operación si se verifica que

$$\forall x,y (x,y\in C\Rightarrow x\ast y\in C)$$

es decir, al hacer operaciones con elementos de $C$ no nos salimos del conjunto $C$. Por otra parte, una operación interna puede cumplir o no (entre otras) las siguientes propiedades:

Asociativa:

$\forall a,b,c\in A$, $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.

Conmutativa:

$\forall a,b\in A$, $a\ast b=b\ast a$.

Elemento Neutro:

$\exists e\in A$, $(a\ast e=e\ast a=a,\;\;\forall a\in A)$.

Elemento Inverso:

Suponiendo que existe elemento neutro $e\in A$, entonces se dice que un elemento $a\in A$ tiene inverso (u opuesto) si

$$\exists a'\in A, \;\; a\ast a'=a'\ast a=e$$

Distributiva:

Dadas dos operaciones internas `$\ast$' y `$\circ$' en $A$, se dice que `$\ast$' es distributiva respecto de `$\circ$' si

$$a\ast(b\circ c)=(a\ast b)\circ(a\ast c)$$

Otras:

no se verán con mucho detalle, pues tienen que ver principalmente con Retículos y Álgebras de Boole, que es un tema muy específico de Informática.

Hacemos notar que el elemento neutro, en caso de existir, es único, y lo mismo ocurre con el elemento inverso $a'$ de un elemento dado $a$. Siguiente: Estructuras algebraicas Subir: OPERACIONES Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Anterior: OPERACIONES Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS