La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    

donde

Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica

En lo que sigue denotaremos por A_ii  a la matriz adjunta en A del elemento a_ii   i=0,1,2 .

Ejemplo:

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

 

A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.

Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).

Si   y  son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces

1)  det A=det A'=det A'',

2)   a₁₁ + a₂₂ = a'₁₁+ a'₂₂ = a''₁₁ + a''₂₂,

3)  det A₀₀ = det A'₀₀ = det A''₀₀.

 Tabla de Clasificación 

Elementos notables de las cónicas

Centro:

Polar  Dado un punto  P=(x₀,y₀) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación

Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de ecuación

que matricialmente se escribe como

Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) será la recta 

Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

La polar del punto (1,1) es la recta

La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

Es posible que un punto P=(x₀,y₀) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones

que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).

Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar

Además si det A₀₀ es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.

Si C es una elipse o una hipérbola entonces  det A₀₀  ≠ 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.

Ejemplo:

En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones

Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.

Polo  Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C  si r es la polar de P respecto a C

Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hipérbola son todas las que pasan por el centro y en la parábola son las rectas de dirección (-a₁₂, a₁₁) que son además perpendiculares al vector  (a₀₁ a₁₂ - a₀₂ a₁₁, a₀₁ a₂₂ - a₀₂ a₁₂) y las únicas que cortan a la parábola en un solo punto.

Diámetro  Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo.

Las figuras siguientes muestran  diámetros en una elipse y una parábola

        

Diremos que dos diámetros son conjugados si  no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectas paralelas al otro.

 

Ecuación reducida

La ecuación reducida de una cónica es aquella ecuación simplificada de la curva que sitúa el centro (si lo tiene) de la cónica como origen de coordenadas mientras que los ejes presentan unas relaciones particulares con la cónica.

Partiendo de la ecuación general de una cónica se puede llegar a su ecuación reducida aplicándole consecutivamente un giro y una traslación de forma adecuada.

Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cónicas:

• Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:

Donde  a'₁₁ y a'₂₂ son las soluciones de la ecuación  en z

y

•  Parábola

 

con   

                             

• Pares de rectas paralelas o coincidentes

con

Ejemplo:

Consideremos la ecuación cuadrática

 

La matriz de la cónica que define la ecuación anterior será

 

Veamos que tipo de cónica es calculando sus invariantes

 

Esto nos indica que es una parábola.

La ecuación  reducida de esta parábola será

 

Las cónicas como lugares geométricos

Si F es un punto fijo del plano y  D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es  una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).

Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.

 

Ecuación focal

Si C es una cónica propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado, su ecuación será

donde  F=(x₀, y₀) es el foco de la cónica y la recta ax+by+d=0 es la directriz asociada al foco F. La ecuación anterior se puede transformar fácilmente en

Renombrando los coeficientes y haciendo a²+b²=e² ya que a²+b² >0  la ecuación queda finalmente como

Esta ecuación se conoce como ecuación focal de la cónica y a'x+b'y+d'=0 es la ecuación de Euler para la directriz.  Más adelante veremos como se puede obtener la ecuación focal partiendo de la ecuación reducida de la cónica.