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Relaciones de equivalencia

En primer lugar damos la definición de lo que es una relación de equivalencia.

Definición 5.1   Una relación $R$ es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos típicos de relaciones de equivalencia, de entre los estudiados anteriormente en esta asignatura, podemos citar la equivalencia lógica, la igualdad de conjuntos, o la relación entre conjuntos de tener la misma cardinalidad. El aspecto más interesante de las relaciones de equivalencia es su correspondencia con las particiones de un conjunto. En primer lugar, si $R$ es una relación de equivalencia, se llama clase de equivalencia de $a\in A$ con respecto a $R$ al conjunto

$$[a]=[a]_{R}=\{x\in A\;\vert\;a R x\}$$

Se puede así enunciar (sin demostración) el siguiente

Teorema 5.2   El conjunto cociente

$$A/R:=\{[a]\;\vert\;a\in A\}$$

define una partición del conjunto $A$. Recíprocamente, si ${\mathcal P}=\{A_{i}\;\vert\;i\in I\}$ es una partición, entonces la relación $R$ definida por

$$x R y \Leftrightarrow \exists i\;\;$$tal que$$\;\; (x\in A_{i})\wedge(y\in A_{i})$$

es una relación de equivalencia cuyo conjunto cociente define la partición de ${\mathcal P}$ partida.

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